■ - daruma3940の日記

線形リー群についての備忘録
（まともに参考にしないほうがいい）
例として２次元回転群SO(2)を考えよう
これの元を
$A(t)= \left( \begin{array}{rr} cost & -sint \\ sint & cost \\ \end{array} \right)$
とする
A(０)を単位元とする
A(t)のすべての元を考えて取り扱うのは難しいので単位元のまわりにげんていして考えよう
これは線形近似で
$A(Δt) =A(0)+A(0)^{' }Δt+O(Δt^{2})$
とかける
変形すると
$(A(Δt)-A(0))/Δt =A(0)^{' }A(0)$
$dA(t)/dt =XA(0)$
ここで
$A(0)^{' }=X$
とした
この微分方程式の解は
$A(t)=exp(tX)$
の形になる
JJサクライで時間発展とか平行移動とかでまずは微小な変化について考えていたけどそこの議論と実は同じ
そしてJJサクライで生成演算子と呼ばれているのは実はここで言うXのこと

ここで注意が必要なのがこれは単位元の周辺でしか成り立っていないということ
これをすべての元について適応させるには条件がある

コンパクトで連結なとき任意の元は
$exp(tX)$ でひとつの指数関数で表すことができる

コンパクトではない時は任意の元は

$exp(tX_{1})exp(πX_{2})$ のようになる　ひとつの指数関数では表すことは出来ない

ノンコンパクト群とはパラメーターの変域が無限空間に渡るもの
コンパクト群はパラメーターの変域が有限である群

GL(2,R)群の元
$M= \left( \begin{array}{rr} - \lambda & 0 \\ 0 & -1/ \lambda \\ \end{array} \right)$
について考えよう
$exp(logM)=M$

$logM= \left( \begin{array}{rr} log(- \lambda) & 0 \\ 0 & log(-1/ \lambda) \\ \end{array} \right)$

logの中身が負なのでこれは複素数
ということは単位源からM(GR(2,R)郡の元)に直接行くのにGR(2,C)を経由してしまっている！

そこでGR(2,C)を経由せずにGR(2,R)だけで単位源からMに到達するために、少し迂回をするルートを取る。
$\left( \begin{array}{rr} cos　\pi & -sin \pi \\ sin \pi & cos \pi \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0& -1 \\ \end{array} \right)$
と
$\left( \begin{array}{rr} \lambda & 0 \\ 0 & 1/ \lambda \\ \end{array} \right)$

を経由する必要がある
なので
$exp(tX_{1})exp(πX_{2})$ の形で表される