daruma3940の日記

理解や文章に間違い等あればどんなことでもご指摘お願いします

標準写像について

なんかカオスの話が出たので
標準写像について書こう
.....と思ったがめんどくさくなってきてしまった。
どんな話をしたかったのかの概略だけ書いて終わりにします

ツッコミ歓迎


標準写像
\theta_{𝑖+1}=\theta_𝑖+𝑝_{𝑖+1}
𝑝_{𝑖+1}=𝑝_{𝑖}−\frac{𝑘}{2𝜋}sin(2𝜋\theta_𝑖)
によって定義される写像


f:id:daruma3940:20190224214029p:plain


写像によって動かない点のことを固定点といって
固定点から少しずれた点のふるまいによって種類別させられる。

少しずれた点のふるまいの種類としては
固定点に吸い寄せられていく、(シンク)
固定点から離れていく(リペラー)
ある軸方向では固定点に吸い寄せられるがある軸方向では固定点から離れていく(サドル)
固定点の周りをくるくる回る(センター)
誤差が線形に増えていく(中立安定(?))
f:id:daruma3940:20190224221515p:plain
というのがある。

標準写像は相空間の体積を変えない写像なので
ある軸方向では固定点に吸い寄せられるがある軸方向では固定点から離れていく
固定点の周りをくるくる回る
誤差が線形に増えていく(これはk=0の時だけ発生する)
だけが許される。

ちなみに相空間の体積を変えない性質をシンプレクティック性といって
微分方程式のシンプレクティック法と関係がある。


固定点の近傍から固定点の座標を求める方法にはモノドロミー法というのがある
こんな感じで求まる
f:id:daruma3940:20190224215918p:plain
k=0.8の場合で
黒点が8周期点
青丸が7周期点
黒丸の
cが固定点の周りをくるくる回る固定点センター
sがある軸方向では固定点に吸い寄せられるがある軸方向では固定点から離れていく固定点(サドル)

SとCは互い違いに存在している。
これはポアンカレバーコフの定理というので証明されているらしい。
位相とかモース理論とかちゃんと勉強しないと理解できなさそう
ポアンカレバーコフ定理は再帰的に適用(?)されるので

センター固定点の周りにもセンター固定点とサドル固定点が存在する。無限に複雑な構造の続くフラクタル的になっている
f:id:daruma3940:20190224221305p:plain

カオス性が小さい時はトーラスだがカオス性が大きくなるとだんだんトーラスが壊れていく。
f:id:daruma3940:20190224222852p:plain
この時どういうトーラスから壊れていくのか調べたのがKAM理論。



ちなみにカオス性がない(可積分の)時、解はトーラスになるというのはリウビル アーノルドの定理。(作用変数 角変数)(もう少し条件はあるが)
www.wikiwand.com



まあ概略だけ書いても誰も理解できないだろう
終わりです


PS

これは数式的にKicked Rotatorのように見えるがよくわからん

回転行列による回転
x = t * cos(z) + y * sin(z);
y = - t * sin(z)+y * cos(z);
yに依存するxに対するキック
t = x + k * sin(y);

ヨーヨーのカオスというのは
ヨーヨーが回転するとしているとして
ヨーヨーにつながっているひもの影響によってx座標が k * sin(y)ずらされるという状況を考えていますということなのかもしれない

力学系とかやってると重要な定理は大体ポアンカレが絡んでいるので
定理の名前を忘れたときはポアンカレっていっておけば7割大丈夫そう(ギャグです)