半導体工学 2016-5-20 状態密度とキャリア濃度

まりちゃ「ゆっくりしていくのじぇ
まだ描きかけの記事なので後からしゅうせいさんをくわえていくのじぇ」

まりちゃ「今日の半導体工学のふくしゅうなのじぇ
状態密度とキャリア濃度ってテーマだったのじぇ」

ありす「初めて書く記事なのに第6回目の授業内容なのね...」

まいちゃ「忘れないうちにやっておくのじぇ」

まいちゃ「閃亜鉛構造のΓ点付近のばんどこうぞうはこうなってるのじぇ
Γ点とは逆格子空間における原点のことなのじぇ」

まいちゃ「今回は問題を単純化するために2バンドモデルを考えるのじぇ

これは価電子帯はP型波動関数だから自由度が3あり、重い正孔バンド軽い正孔バンド、スプリットオフバンドの3っつのバンドがあるのを一つにして簡略化しているのじぇ
伝導体はs型波動関数で自由度が1なのでそのままなのじぇ
ちなみにここで出てきたｓ、ｐっていうのはｓ、ｐ軌道のそれと同じ意味なのじぇ」

れいみゅ「ゆゆっ！？どうして価電子帯はｐ型で、伝導体はｓなの？？」

まいちゃ「まいちゃにもよくわからないのじぇ　
ちなみに真空中の電子の静止質量よりも閃亜鉛構造内の電子の有効質量の方が小さくなるのも謎なのじぇ
まあここではその話題はおいておくのじぇ」

まいちゃ「価電子帯のエネルギー関数と伝導体のエネルギー関数はこうなるのじぇ」

伝導帯

\begin{align} \Ec(k)=Ec+ h² k²/2m_{e} \tag{1} \label{eq:} \end{align} \[ Ec(k)=Ec+ h² k²　/2 me \]
価電子帯
\[ Ev(k)=Ev+ h² k²　/2 mh \]

ありす「バンドギャップエネルギーは\[Eg=Ev-Ec\]ね！」

まいちゃ「グラフにするとこんな感じなのぜ」

まいちゃ「まずは状態数についてしらべるのじぇ

状態数Nはｋについての関数で3次元波数空間の（kx,ky,kz)の組の数なのじぇ

ここでまずは最小波数空間体積について考えるのじぇ
一辺がLの立方体のとある軸に進む波の波長の最大値はLになることは理解できると思うのじぇ

波数ｋは2π/λであらわされるので波長が大きいほど波数は小さくなるのじぇ
ここでは最大の波長はLであるとしているので波長がLの時波数は最小の値ｋ＝2π/Lをとるのじぇ
ここでさっき言った最小波数空間体積は一辺がk=2π/Lであるk空間内の立方体の体積なのじぇ

これは分かりやすくいうなれば、一つの状態が座れるサイズの映画館のシートなのじぇ

最終的に
状態数N(k)は（波数空間内における半径ｋの球の体積）÷（最小波数空間体積）＊２になるのじぇ

最後の２は電子がスピン縮退を持つことからくるのじぇ
体積を最小の体積で割るとその（kx,ky,kz）の組の数が出てくるというのは納得できると思うんだじぇ
映画館の床の広さをを映画を見るときに座る座席の大きさで割ると座席を何席おけるかわかるという意味なのじぇ

」

ありす「これを計算すれば状態数N(k)はでるわね！」

まりちゃ「ここでまいちゃが求めておきたいのは状態密度D(E)なのじぇ

状態密度D(E)は”単位体積当たりのあるエネルギーEにおいて存在することが可能な正孔、電子の個数の密度”のことなのじぇ

これは状態数をEで微分すればいいのじぇ

ちょっと疑問に思うかもしれないけど

\begin{align} \int D(E)dE=Nv \tag{1} \label{eq:} \end{align}

であるからD(E)が”あるエネルギーEにおいて存在することが可能な正孔、電子の個数の密度”ということは納得してもらえると思うんだじぇ 」

れいみゅ「D(E)のグラフはこんな感じだよ！」

まりちゃ「 ここでようやく電子と正孔の濃度について議論できるのじぇ

電子正孔濃度n(E),P(E)は状態密度D(E)とフェルミ分布関数の積であらわされるのじぇ。
分かりにくいけどまあ状態密度が映画館の全座席で
フェルミ分布関数が映画を見に来た客だと思ってくれればいいんじゃないかだじぇ？
電子の濃度は映画館の全座席の関数とお客の数の関数であらわされ、
全座席が０ならばいくら客が映画を見ようとしても座れないので見れないつまり濃度はゼロで
逆に座席がいっぱいあってもみようとする人がいないつまらん映画なら濃度はゼロだじぇ

ちなみにフェルミ分布関数はシグモイド関数を逆にしたような形をしているのじぇ
これで電子と正孔の濃度についてのグラフがもとまるのじぇ
」